テキストカラーを変更する方法は「Advanced Rich Text Tools for Gutenberg」というプラグインでできます。
ただ、これはインラインスタイルで設定されてしまうので、メンテナンス性が悪いかなと思います。
ということでこのプラグインをベースにして、設定したカラーのクラスを割り当てるように変更してみます。

Advanced Rich Text Tools for Gutenberg

カラーパレットの設定

Gutenbergには色を選択するカラーパレットがありあますが、この色はテーマファイルのfunctions.phpを編集することで変更できます。
自由に色を指定できるボタンも、こちらで変更してしまうとよくない面もあるので無効にします。

functions.php

function mytheme_setup() {
	// カラーパレットの設定
	add_theme_support('editor-color-palette', [
		[
			'name' => '赤',
			'slug' => 'red',
			'color' => '#D92A2D',
		],[
			'name' => '青',
			'slug' => 'blue',
			'color' => '#4F759B',
		],[
			'name' => 'オレンジ',
			'slug' => 'orange',
			'color' => '#F9A32A',
		], [
			'name' => '白',
			'slug' => 'white',
			'color' => '#fff',
		]
	]);
	// 自由色選択を無効
	add_theme_support('disable-custom-colors');
}
add_action('after_setup_theme', 'mytheme_setup');

開発環境

カスタムブロックプラグインの作成には「Create Guten Block」が便利です。
よかったら下記記事も参考にしてください。

Create Guten BlockでGutenbergのカスタムブロック開発環境を構築する

カスタムブロックのコード

メインとなるブロックのコードです。

const {
	registerFormatType,
	applyFormat,
	removeFormat,
	getActiveFormat
} = window.wp.richText;

const {
	InspectorControls,
	PanelColorSettings,
	getColorObjectByColorValue
} = window.wp.editor;

const {
	select
} = wp.data;

[{
	name: 'text-color',
	title: '文字色'
},{
	name: 'background-color',
	title: '文字背景色'
}].forEach(({ name, title }) => {
	const type = `myblock/${name}`;

	registerFormatType(type, {
		title,
		tagName: 'span',
		className: name,
		attributes: {
			data: 'data-color',
			class: 'class'
		},
		edit ({ isActive, value, onChange }) {
			let activeColor;
			// 設定したカラーパレーットを読み込む
			const colorSet = select('core/editor').getEditorSettings().colors;

			// 使用しているカラーを選択する
			if (isActive) {
				const activeFormat = getActiveFormat(value, type);
				activeColor = activeFormat.attributes.data;
			}

			return(
				<InspectorControls>
					<PanelColorSettings
						title={ title }
						initialOpen={ true }
						colorSettings={ [
							{
								value: activeColor,
								onChange: (color) => {
									if (color) {
										// 選択しているカラーを取得
										const colorObject = getColorObjectByColorValue(colorSet, color);
										onChange(applyFormat(value, {
											type,
											attributes: {
												data: color,
												class: `has-${colorObject.slug}`
											}
										}));
										return
									}
									onChange(removeFormat(value, type))
								},
								label: '選択色'
							}
						] }
					/>
				</InspectorControls>
			)
		}
	})
});
18〜23行目
nameが割り当てられるクラス名になります。
titleはパネルのタイトルになります。
27行目
今回のようにエディター内の機能を追加するのはregisterFormatTypeになります。
31〜34行目
使用する属性の設定。
classに加え、カラーパレットのアクティブの切り替えにカラーコードを使用する必要があるので、data属性にカラーコードを設定します。
38行目
getEditorSettingsでエディターの設定情報を色々と取得できます。
colorsにはfunctions.phpで設定したカラー情報が入っています。
54〜68行目
カラーパレットで選択されたとき実行されます。
引数でカラーコードが取れるのでそこからgetColorObjectByColorValueを使用すればfunctions.phpで設定したカラー情報を取得することができます。

テキストを選択すると、右パネルに「文字色」「文字背景色」というパネルが追加されます。

追加されたテキストカラー選択パネル

CSSの作成

最後にCSSも作成しましょう。

scss

.text-color {
	&.has-blue {
		color: #4F759B;
	}
	&.has-red {
		color: #D92A2D;
	}
	&.has-orange {
		color: #F9A32A;
	}
	&.has-white {
		color: #fff;
	}
}

.background-color {
	&.has-blue {
		background-color: #4F759B;
	}
	&.has-red {
		background-color: #D92A2D;
	}
	&.has-orange {
		background-color: #F9A32A;
	}
	&.has-white {
		background-color: #fff;
	}
}

文字色と背景色を同時に指定するとspanが二重になったりするのが気になるところではありますが。以上になります。