Laravel 5.8 を使用します。

文字列指定の場合

バリデーションを設定するとき、更新するレコードのIDは除外するという設定をする必要があります。
例えばPostsテーブルのslugカラムをユニークにしたいとします。
FormRequestに記述する場合は下記のようになります。

Http/Requests/PostRequest.php
namespace App\Http\Requests;


use Illuminate\Foundation\Http\FormRequest;


class PostRequest extends FormRequest
{


  public function authorize()
  {
    return true;
  }


  public function rules()
  {
    return [
      'slug' => 'unique:posts,slug,' . $this->post->id,
    ];
  }
}

uniqueの3つめのパラメータに更新するレコードIDを指定します。
$this->post->idで取得できます。
ただこの方法は新規作成時の場合はidがないので、このままでとエラーになります。
条件分岐などして処理を切り分ける必要がありますので、後述の配列で記述する方法がおすすめです。

配列指定の場合

バリデーションは配列で指定することもできますよね。
その場合はignoreで自身を指定します。

Http/Requests/PostRequest.php
namespace App\Http\Requests;


use Illuminate\Foundation\Http\FormRequest;
use Illuminate\Validation\Rule;


class PostRequest extends FormRequest
{


  public function authorize()
  {
    return true;
  }


  public function rules()
  {
    return [
            'slug' => [
                Rule::unique('posts')->ignore($this->post)
      ]
    ];
  }
}